Rumus-Rumus Trigonometri

Rumus trigonometri umum

Sudut-Sudut Istimewa sin cos tan 0 30 45 60 90 derajat

Aturan sin cos tan lain

Rumus-rumus Trigonometri pada segitiga dengan sisi a b c

Aturan sinus

Aturan Cosinus

Luas Segitiga 2 sisi dan 1 sudut

Luas segitiga dengan 3 sisi akan dibahas lain waktu

Rumus jumlah 2 sudut trigonometri sin cos tan

sepertinya gambar ini ada yang salah, nanti diperbaiki

Sudut 2A atau sin 2x, cos 2x, tan 2x

Rumus kali trigonometri sin cos cos sin cos cos -sin sin

Rumus jumlah 2 trigonometri sin cos cos sin cos cos -sin sin

Persamaan Trigonometri mudah sekali dikerjakan

Bentuk a Cos x + b Sin x = k cos x-teta

Bentuk a Cos x + b Sin x = c

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f(x) =a Cos x + b Sin x

Trigonometri

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b)  = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b )   = tg a + tg b
                 1 - tg²a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b)  = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b )   = tg a - tg b
                 1 + tg²a

SUDUT RANGKAP

sin 2a  = 2 sin a cos a
cos 2a = cos²a - sin² a
= 2 cos²a - 1
= 1 - 2 sin²a
tg 2a  =  2 tg 2a 
            1 - tg²a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos²a = ½(1 + cos 2a)
sin2a  = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na  = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos² ½na - 1
= 2 cos² ½na - 1
= 1 - 2 sin² ½na
tg na =   2 tg ½na  
           1 - tg² ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b
                                2              2
sin a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b
                                2             2
cos a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b
                                 2              2
cos a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b
                                  2             2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)

a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :                     
             K = Öa² + b² dan tg a = b/a Þ a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

	I	II	III	IV
a	+	-	-	+
b	+	+	-	-

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
                         x2 = (180° - a) + n.360°
    cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180°    (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c
     a cos x + b sin x = C
            K cos (x-a) = C
               cos (x-a) = C/K
     syarat persamaan ini dapat diselesaikan
     -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos b
  cos (x - a) = cos b
        (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°

Pengertian dan Fungsi Dana Kas Kecil

Pengeluaran kas didalam prakteknya, tidak semua dapat dilakukan dengan menggunakan cek, karena untuk pengeluaran yang jumlahnya relatif kecil, sangat tidak efektif bila dilakukan dengan menggunakan cek. Untuk itu perusahaan biasanya membentuk suatu dana khusus yang disebut dengan dana kas kecil ( Petty Cash Fund ).

Soemarso ( 2004 ) mendefinisikan dana kas kecil sebagai berikut :
”sejumlah uang tunai tertentu yang disisihkan dalam perusahaan dan digunakan untuk melayani pengeluaran-pengeluaran tertentu. Biasanya pengeluaran-pengeluran yang dilakukan melalui dana kas kecil adalah pengeluaran-pengeluaran yang jumlahnya tidak besar, pengeluaran-pengeluaran lain dilakukan dengan bank ( dengan cek )”.
Dari kutipan di atas jelas bahwa dana ini hanya diperuntukan bagi pengeluaran-pengeluaran yang jumlahnya relatif kecil yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan cek. Oleh sebab itu perusahan perlu menetapkan mata anggaran apa saja yang bisa dibayarkan dengan menggunakan kas kecil, dan mata anggaran apa saja yang tidak bisa dilakukan dengan menggunakan dana tersebut, karena tidak semua pengeluaran yang jumlahnya kecil layak dibayarkan dengan menggunakan dana kas kecil. Tetapi ada perkiraan-perkiraan karena alasan tertentu tidak dibayarkan dengan kas kecil, walaupun jumlahnya relatif kecil.
Dalam sebuah perusahaan yang sudah besar, fungsi dana kas kecil sangatlah penting untuk menunjang kelancaran aktivitas dari perusahaan, karena setiap pengeluaran yang relatif kecil tidak efektif jika dilakukan dengan menggunakan cek disebabkan penarikan cek memebutuhkan waktu yang lama. Akan tetapi dengan adanya dana kas kecil semua pengeluaran tersebut dapat dilakukan dengan segera. Biasanya pengeluaran yang termasuk dalam dana kas kecil itu sifatnya pengeluaran rutin. Adapun pengeluaran yang dilakukan dengan dana kas kecil adalah biaya-biaya:
- Biaya makan minum
- Biaya perlengkapan
- Biaya keperluan kantor
- Serta biaya-biaya lainnya.
Karena fungsinya yang demikian penting, maka pada perusahaan yang berukuran menengah besar, dana kas kecil ini sudah merupakan kebutuhan yang mutlak harus ada. Dapat dibayarkan betapa tidak efesiennya apabila dana kas kecil ini tidak disediakan anggarannya oleh perusahan tersebut, karena pada saat akan melakukan pengeluaran uang harus menunggu pencairan cek terlebih dahulu. Tapi kalau perusahaan tersebut menyediakan anggaran bagi dana kas kecil, maka setiap melakukan pengeluaran yang kecil-kecil tidak harus menunggu pencairan cek terlebih dahulu tetapi bisa langsung pembayarannya mengunakan dana kas kecil tadi.
Jumlah dana kas kecil yang tersedia ditangan juga tidak boleh terlalu besar jumlahnya, karena akan menyebabkan sejumlah dana yang menganggur dan juga dapat menimbulkan resiko kehilangan. Dengan adanya dana kas kecil yang jumlahnya sesuai kebutuhan, tentu aktivitas perusahaan dapat berjalan lancar.
Dalam mengelola dana kas kecil ada dua metode yang bisa digunakan yaitu Imprest Fund Method dan Fluctuation Method.
a. Imprest Fund Method
Pada sistem Imprest Fund, Baridwan ( 1992 ) mendefinisikan : ”Didalam sistem ini jumlah dana dalam rekening kas kecil selalu tetap, yaitu sebesar cek yang diserahkan kepada kasir kas kecil untuk untuk membentuk dana kas kecil ”
Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat diperjelas bahwa pada sistem Imprest Fund jumlah dana kas kecil selalu konstan dan tidak berubah-ubah. Biasanya kas kecil ini diisi dengan sejumlash uang yang telah ditetapkan untuk keperluan pembayarn-pembayaran selama jangka waktu tertentu, misalnya satu minggu, dua minggu, ataupun sebulan. Bilamana jangka waktunya telah habis dan jumlah uang dalam kas kecil pun telah menipis, maka kas kecil diisi kembali dengan menarik dana dari kas besar sampai dengan jumlah dana yang telah ditetapkan besarnya. Untuk setiap pengisian kembali dana kas kecil, pemegagang kas kecil selalu melampirkan kas kecil serta bukti-bukti pendukungnya.
Walaupun secara teoritis ada dua sistem penggelolaan deana kas kecil, tetapi dalam kenyataanya hampir semua perusahaan yang telah membentuk dana kas, mengelolanya dengan sistem imprest dengan alasan untuk mempermudah pengawasan.
Dari penjelasan tersebut maka jelaslah bahwa dana kas kecil yang dikelola dengan sistem Imprest Fund menghasilkan beberapa keuntungan bagi pihak perusahaan yaitu untuk mempermudah pengawasan, perhitungan dan pertaggung jawaban (Accountabilities).
b. Fluctuation Method
Menurut Baridwan ( 1992 ) Fluctuation Method dikatakan ” Dalam sistem fluktuasi saldo rekening kas kecil tetap, tetapi berfluktuasi sesuai dengan jumlah pengisisan kembali dan pengeluran- pengeluaran dari kas kecil ”.
Dari definisi diatas maka dapat kita ambil kesimpulan bahwa Fluctuation Method merupakan suatu sistem penggeloalaan dana kas kecil yang saldo rekeningnya tidak tetap dan tergantung pada besar kecilnya pengeluaran yang terjadi untuk periode tertentu, misalnya dalam waktu dua minggu, sebulan dan sebagainya.
Pada sistem ini rekening kas kecil yang diselenggarakan harus menunjukkan saldo pada setiap saat sebesar jumlah dana kas kecil yang ada ditangan pemegang dana kas kecil.
Ada beberapa prosedur yang perlu dilakukan untuk melaksanakan dana kas kecil
a. Prosedur Pembentukan Dana Kas Kecil
Tahap pertama dalam menetapkan dana kas kecil adalah mentaksir jumlah dana yang diperlukan untuk kas kecil tersebut. Setelah jumlah ini ditentukan kita misalkan sejumlah Rp. 150.000,-, maka akan ditarik selembar cek untuk sejumlah dana tersebut dan dibuat pencacatan untuk dana kas kecil. Ayat jurnal yang harus dibuat adalah sebagai berikut:
Kas kecil Rp. 150.000,-
Kas/Bank Rp. 150.000,-
Pencacatan yang dilakukan pada sistem Imprest Fund dan pada sistem fluctuation adalah sama yaitu dengan mendebet kas kecil dan mengkredit perkiraan kas atau bank ( yang dimaksud kas di sini adalah kas besar ).
b. Prosedur Pengeluaran Dana Kas Kecil
Untuk pengeluaran-pengeluaran yang dilakukan dengan dana kas kecil perlu dibuat bukti pengeluaran kas kecil ( petty cash record ). Tabel 1-1 memperlihatkan contoh bukti pengeluaran kas kecil (petty cash voucher ). Tabel 1-2 memperlihatkan contoh kas kecil (petty cash record).

Like th

Fungsi

Suatu pemetaan / fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus sedemikian rupa sehingga, setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

ditulis f : A ® B

1. Himpunan A disebut DOMAIN fungsi, dan himpunan B disebut CODOMAIN fungsi.
   
   
2. Bila a Î A, maka b Î B yang menyatakan pasangan dari A, disebut image (peta) dari A.
   
   ditulis f(a) = b
   
   
3. Kumpulan dari image-image a Î A di B, membentuk range fungsi.
   
   range = f(A)

Rumus Cepat & Cerdas Matematika

Model dan variasi soal ujian matematika yang itu-itu saja menjadikan peluang siswa menggunakan trik pengerjaan yang tidak semestinya alias menggunakan jalan pintas dengan rumus cepat (instan).

Contoh rumus cepat matematika banyak sekali yang sering (hampir selalu) berguna ketika UN, SPMB, UMPTN di antaranya adalah rumus tentang deret aritmetika.

Contoh soal:

Jumlah n suku pertama dari suatu deret adalah Sn = 3n² + n. Maka suku ke-11 dari deret tersebut adalah…

Tentu ada banyak cara untuk menyelesaikan soal ini.

Cara pertama, tentukan dulu rumus Un kemudian hitung U11. Cara ini cukup panjang dan memakan banyak waktu serta pikiran sehingga menguras banyak energi. Tetapi bagus Anda coba untuk meningkatkan keterampilan dan pemahaman konsep deret. Rumus Un dapat kita peroleh dari selisih Sn – S(n-1)dan seterusnya. Saya yakin semua sudah bisa

Cara kedua, sedikit lebih cerdik dari cara pertama. Kita tidak perlu menentukan rumus Un. Karena kita memang tidak ditanya rumus tersebut. Kita langsung menghitung U11
S11 – S10 = U11
[3(11²) + 11] – [3(10²) + 10]
= 3.121 – 3.100 + 11 – 10
= 64

Persamaan Kuadrat

contoh soal :

1. UMPTN 1991

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan 2x²-3x +5 = 0 adalah..

A.     2x² -5x +3 = 0

B.     2x² +3x +5 = 0

C.     3x² -2x +5 = 0

D.     3x² -5x +2 = 0

E.      5x² -3x +2 = 0

METODE CERDAS/SMART:

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar ax²+bx +c = 0 Adalah :  cx² +bx +a = 0 (Kunci : posisi a dan c di  tukar )

Jawab:

5x² -3x +2 = 0   (E)

Logaritma

contoh soal:

UMPTN 1997

Jumlah dari penyelesaian persamaan :       ²log²x +5²log x +6 = 0 sama dengan….

1. ¼
2. ¾
3. 1/8
4. 3/8
5. -5/8

Jawab:

Pembahasan smart/cara cepat

ingat!

^alog f(x) = p maka :

f(x) = a^p

^maka:

• ²log²x +5²log x +6 = 0
• (²log x +2)(²log +3) =0
• ²log x = -2 atau ²log x = -3
• x = 2^-2 = ¼  atau x = 2^-3 = 1/8

Maka : x1 + x2 = ¼  + 1/8 = 3/8

Peluang

contoh soal :

UMPTN 1998

Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 7 soal ulangan, tapi soal nomor 1 dan 2 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah….

1. 4
2. 5
3. 6
4. 7
5. 10

Penyelesaian cara cepat :

No. 1 dan 2 harus dikerjakan, maka sisa nomor yang dipilih : 3 ,4 ,5 ,6 ,7

Dipilih 3 soal lagi,maka :

C⁵₃ = (5.4) /(2.1) = 10

Untuk mengetahui Strategi Cerdas yang lain pada Bab PELUANG slahkan Invers

Tentukan invers dari :

F(x) = (2x + 2)² – 5

Cara biasa :

F(x) =  y =  (2x + 2)² – 5

y + 5 = (2x + 2)²

(y + 5)^1/2 = 2x + 2

(y + 5)^1/2 – 2 = 2x

[(y +5)^1/2 - 2]/2 = x

Jadi F’(x) = [(x + 5)^1/2 - 2]/2

Cara Cerdas :

Lihat : (2x + 2)² –5

pada fungsi tersebut pertama x dikalikan 2 kemudian ditambah 2 lalu dipangkatkan 2 kemudian dikurang 5

Untuk mendapatkan inversnya sekarang langkahnya di balik / dari belakang dan operasinya tiap langkah diubah dengan menggunakan inversnya

hasilnya : x ditambah 5 kemudian dipangkat 1/2 lalu dikurang 2 kemudian dibagi 2

so jawabannya : F’(x) = [(x + 5)^1/2 - 2]/2

kalau anda sudah terbiasa saya yakin dalam hitungan detik anda sudah dapat menyelesaikannya dengan benar. untuk soal yang lain pun dengan cara yang sama.

Persamaan Logaritma

Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x.

Masalah : Menghilangkan logaritma

^alog f(x) = ^alog g(x) ® f(x) = g(x)
^alog f(x) = b ® f(x) =ab
^f(x)log a = b ® (f(x))^b = a
Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 ¹ 1 dan numerus > 0 )
Contoh:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !

^{xlog 1/100 = -1/8
x-1/8 = 10-2
(x -1/8) -8 = (10-2)-8
x = 10 16}

^{xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6
xlog 34 - 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6
4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6
3 xlog 3 = 6
xlog 3 = 2
x² = 3 ® x = Ö3 (x>0)}

^{xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0
xlog(x+12) - xlog 4³ = -1
xlog ((x+12)/4³) = -1
(x+12)/4³ = 1/x
x² + 12x - 64 = 0
(x + 16)(x - 4) = 0
x = -16 (TM) ; x = 4}

<sup>²log²x - 2 ²logx - 3 = 0

misal :   ²log x = p

p² - 2p - 3 = 0
(p-3)(p+1) = 0

p₁ = 3
²log x = 3
x₁ = 2³ = 8

p₂ = -1
²log x = -1
x₂ = 2-1 = 1/2</sup>

Penarikan Kesimpulan

Setelah mengerjakan sistem persamaan 2 variabel, Al memperoleh hasil:
0 = 7.
Apa kesimpulannya?
Tentu saja Al yakin bahwa 0 tidak sama dengan 7. Pasti ada sesuatu.
“Menurut Kamu bagaimana Al?” tanya Paman APIQ.
“Lho, saya yang mau bertanya kok malah ditanyain!” Al protes.
0 = 7 bernilai salah. Tetap bernilai salah untuk berapa pun nilai x atau y dalam sistem bilangan riil.
Kesimpulan: tidak ada pasangan x dan y yang memenuhi sistem persamaan. Karena berapa pun nilai x dan y yang kita pilih akan menghasilkan perhitungan yang salah yakni 0 =7.
Dalam gambar grafik lebih tampak jelas bahwa grafik-grafik dari sistem peramaan tersebut tidak berpotongan. Misalnya dua garis sejajar.
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari
3x + 4y = 7
6x + 8y = 21
Dengan eliminasi kita peroleh, (persamaan 1 kalikan 2)
6x + 8y = 21
6x + 8y = 14
————– -
0 = 7; Bernilai salah.
Kesimpulan: tidak ada pasangan x dan y yang memenuhi sistem persamaan di atas. Atau dengan gambar grafik maka tidak ada titik potong dari dua garis di atas.

Logika Matematika Berkuantor

Kuantor Universal (Universal Quantifier).

Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata “Untuk semua/setiap x” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x untuk menghasilkan kalimat yang mempunyai suatu nilai kebenaran. Nilai x ditentukan berdasarkan semesta pembicaraannya. Kuantor universal disimbolkan dengan “∀”. Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua individual-individualnya. Perhatikan kalimat berikut ini :

“Semua gajah mempunyai belalai”

Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka dapat ditulis :

G(x) ⇒ B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”. Tetapi kalimat di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat diatas belum memuat kata “semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul kuantor universal sehingga menjadi

(∀x)(G(x) ⇒ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.

Pernyataan-pernyataan yang berisi kata ”semua”, ”setiap”, atau kata lain yang sama artinya, mengindikasikan adanya pengkuantifikasian secara universal, maka dipakai kuantor universal. Dalam bahasa inggris, misalnya untuk orang ada kata ”every people”, ”all people”, ”anybody”, “each people”, dan lain-lainnya.

Misalnya jika diketahui pernyataan logika, ”Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks”, jika ingin ditulis dalam logika predikat, maka ditentukan misal B untuk “ harus belajar dari buku teks”, sehingga jika ditulis B(x), berarti “x harus belajar dari buku teks”. Kata “Setiap mahasiswa” mengindikasikan bernilai benar untuk setiap x, maka penulisan yang lengkap adalah:

(∀x) Bx, dibaca “Untuk setiap x, x harus belajar dari buku teks”.

Akan tetapi notasi diatas belum sempurna karena x belum menunjuk mahasiswa, maka harus lebih ditegaskan dan sebaiknya ditulis :

(∀x)(M(x) ⇒ B(x)), dibaca “Untuk setiap x, jika x mahasiswa, maka x harus belajar dari buku teks”.

Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal:

Perhatikan pernyataan berikut ini :

“Semua mahasiswa harus rajin belajar”

Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut :

Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya, yaitu “Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”. Selanjutnya akan ditulis: mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x)

Berilah kuantor universal di depannya (∀x)(mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x))

Ubahlah menjadi suatu fungsi (Ax)(M(x) ⇒ B(x))

Contoh

”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”.

Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk tumbuh Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x)

(∀x) (Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x))

(∀x)(T(x) ⇒ A(x))

”Semua artis adalah cantik”.

Jika x adalah artis, maka x cantik, Artis(x) ⇒ cantik(x).

(∀x)( Artis(x) ⇒ cantik(x))

(∀x)(A(x) ⇒ C(x))

Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A > 5 . Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A) x+3>10. Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek satu persatu.

A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x+3>10

Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 Memenuhi

A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 Memenuhi

A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 Memenuhi

A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 Memenuhi

Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai benar. Tapi jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10, dimana hasilnya salah maka (∀x) x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter example.

Kuantor Eksistensial (Existensial Quantifier)

Kuantor eksistensial menunjukkan bahwa diantara objek-objek (term–term) dalam semestanya, paling sedikit ada ada satu term/objek yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata : “Terdapat…..”, “Beberapa x bersifat…..”, “Ada……”, “Paling sedikit ada satu x………” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x. Kuantor eksistensial disimbolkan dengan ”∃”. Kuantor eksistensial mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang bernilai benar untuk individu-individualnya. Dalam bahasa inggris, penggunaan kuantor eksistensial dapat ditunjukkan dengan penggunaan kata kata: ”some”,” there is”, ”at least one”, dan kata-kata lain yang sama artinya.

Perhatikan kalimat berikut ini :

” Ada pelajar yang memperoleh beasiswa berprestasi ”

Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada pernyataan tersebut, dilakukan langkkah-langkah sebagai berikut :

Carilah scope dari kuantor-kuantor eksistensialnya, yaitu:

“Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa berprestasi “.

Selanjutnya akan ditulis :

Pelajar(x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi (x)

Berilah kuantor eksisitensial di depannya.

(∃x) (Pelajar(x)∧ memperoleh beasiswa berprestasi(x))

Ubahlah menjadi suatu fungsi.

(∃x)(P(x) ∧ B(x))

Contoh

“Beberapa orang rajin beribadah”.

Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka:

”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”.

(∃x)(Orang(x) ∧ rajin beribadah(x))

(∃x)(O(x) ∧ I(x))

“Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”.

“Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak mempunyai kaki”.

(∃x)(binatang(x) ∧ tidak mempunyai kaki(x))

(∃x)(B(x) ∧ ￢K(x))

Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (∃x ∈ B)(x2=x).

(∃x ∈ B)(x2=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat dan x memenuhi x^2=x”. (∃x ∈ B)(x^2=x) akan bernilai benar jika dapat ditunjukkan paling sedikit ada satu bilangan bulat yang memenuhi x^2=x.

Misal x= -1, maka 〖-1〗^21 Tidak memenuhi

x= 1, maka 〖(1)〗^2=1 Memenuhi

Karena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di atas bernilai benar.

Kuantor Ganda

Domain atau semesta pembicaraan penafsiran kuantor sangat penting untuk menentukan jenis kuantor yang akan digunakan serta mempengaruhi penulisan simbolnya. Lihat contoh berikut:

“Setiap orang mencintai Jogjakarta”

Selanjutnya, dapat ditulis simbolnya dengan logika predikat (∀x)C(x,j)

Simbol tersebut dapat dibaca “Untuk semua y, y mencintai Jogjakarta”. Persoalan yang terjadi adalah domain penafsirab seseorang untuk y bias berbeda-beda. Ada orang yang menganggap y hádala manusia, tetapi mungkin orang lain menganggap y bisa mahluk hidup apa saja, missal ayam, bebek, bahkan mungkin y bisa menjadi benda apa saja. Tentu saja domain penafsiran semacam ini kacau karena yang dimaksudkan pasti hanya orang atau manusia. Oleh karena itu, untuk memastikan bahwa domain penafsiran hanya orang, penulisan simbol harus diperbaiki seperti berikut :

(∀y)(O(y)⇒ C(y,j) )

Sekarang simbol tersebut dapat dibaca ”Untuk semua y jika y adalah orang, maka y mencintai Jogjakarta”.

Untuk menulis simbol yang tepat, memang harus menempatkan terlebih dahulu domain penafsiran karena domain penafsiran Sangat mempengaruhi penulisan dan sekaligus menghindari terjadinya ambiguitas. Contoh domain penafsiran yang bersifat umum antara lain manusia, binatang, tumbuh-tumbuhan, bilangan prima, bilangan asli, dan sebagainya, yang nantinya akan menggunakan kuantor universal. Akan tetapi jira tertentu saja atau tidak semuanya, misalnya beberapa manusia, atau satu manusia saja, akan memakai kuantor yang berbeda yaitu kuantor eksisitensial.

Persoalan selanjutnya adalah bagaimana jira memakai dua kuntor yang berbeda pada satu penulisan simbol yang berasal dari satu pernyataan. Apakah domain penafsiran juga akan berbeda atau sama?. Perhatikan contoh berikut ini :

“Setiap orang dicintai oleh seseorang”

Dengan notasi simbol logika predikat, akan ditullis seperti berikut

(∀x)(∃y)C(y,x)

Yang dapat dibaca ”Untuk semua x, terdapat y dimana y mencintai x”

X dan Y sebenarnya menunjuk domain penafsiran yang sama yaitu orang, dan pada simbol tersebut ternyata dibedakan. Penulisan tersebut lebih baik lagi jika bisa memakai variable yang sama. Maka pernyataan diatas secara lengkap dapat ditulis :

(∀x)(O(x)⇒ (∃x)(O(y)∧ C(y,x) ) )

Sekarang perhatikan contoh penulisan pernyataan berikut jika menggunakan angka atau bilangan.

(∀x∈real)(∀y∈real)S(x,y), misalkan S(x,y)=x+y=y+x dan dapat dibaca “ Untuk semua bilangan real x dan semua bilangan real y, adalah benar x+y=y+x”

Sekarang perhatikan jika pengkuantoran ternyata melibatkan lebih dari satu jenis kuantor dengan contoh pernyataan berikut :

“Terdapat bilangan positif x sedemikian sehingga untuk semua bilangan positif y berlaku y
Pernyataan di atas dapat ditulis:
(∃x)(∀y)(y
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuantor universal (∀) dan kuantor eksistensial (∃) diperlakukan sebagai perangkai unary dan kuantor juga memiliki urutan lebih tinggi dibandingkan dengan perangkai binary.
Contoh
H(x)∶ x hidup
M(x)∶ x mati
(∀x)(H(x) ∨ M(x)) dibaca “Untuk semua x, x hidup atau x mati” Akan tetapi jika ditulisnya (∀x)(H(x)) ∨ M(x) maka dibaca “Untuk semua x hidup, atau x mati”. Pada “x mati”, x tidak terhubing dengan kuantor universal, yang terhubung hanya”x hidup”. Sekali lagi, perhatikan penulisan serta peletakan tanda kurungnya.
Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah sebagai berikut :
(∀x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∀x) P(x,y)
 (∃x)(∃y) P(x,y) ≡ (∃y)(∃x) P(x,y)
(∃x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∃x) P(x,y)
Ingkaran kalimat berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang sama seperti ingkaran pada kalimat berkuantor tunggal.
￢[(∃x)(∀y) P(x,y)] ≡ (∀x)(∃y) ￢P(x,y)
￢[(∀x)(∃y) P(x,y)] ≡ (∃x)(∀y) ￢P(x,y)
Contoh:
Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini :
(∀x)(∃y) x=2y dengan domainnya adalah bilangan bulat
(∀x)(∃y) x=2y dibaca “Untuk semua bilangan bulat x, terdapat bilangan bulat y yang memenuhi x=2y. Maka negasinya :￢[(∀x)(∃y) x=2y] ≡ (∃x)(∀y) x≠2y
Ada toko buah yang menjual segala jenis buah. Dapat ditulis (∃x)(∀y) x menjual y. Maka negasinya ￢[(∃x)(∀y) x menjual y] ≡ (∀x)(∃y) x tidak menjual y Dibaca “Semua toko buah tidak menjual paling sedikit satu jenis buah”.
Mengubah pernyataan ke dalam logika predikat yang memiliki kuantor ganda
Misal : “Ada seseorang yang mengenal setiap orang”
Langkah-langkahnya :
Jadikan potongan pernyataan ”x kenal y”, maka akan menjadi K(x,y).K(x,y)∶ x kenal y
Jadikan potongan pernyataan ”x kenal semua y”, sehingga menjadi (∀y) K(x,y)

Nilai Optimum suatu Fungsi Objektif

• Dalam pemodelan matematika masalah produksi ban PT. Samba Lababan, kalian akan mencari nilai x dan y sedemikian sehingga f (x, y) = 40.000x + 30.000y maksimum.
• Bentuk umum dari fungsi tersebut adalah f (x, y) = ax + by. Suatu fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum). Fungsi ini disebut fungsi objektif.
• Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif ini, kalian dapat menggunakan dua metode, yaitu :
1. Metode Uji Titik Pojok

Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut :


1. Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.
2. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.
3. Stitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
4. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y)


Contoh I :

Sebagai contoh, kalian akan memaksimumkan keuntungan PT. Samba Lababan dari produksi ban dengan model matematika f(x, y) = 40.000x +  30.000y.





Perhatikan daerah penyelesaian dari grafik pada gambar di atas.

• Titik-titik pojoknya adalah titik O, A, B, C, dan D.
• Titik O adalah titik pusat koordinat. Jadi, titik O(0,0).
• Titik A adalah titik potong antara garis x = 80 dan sumbu-x

Jadi, titik A(80, 0).


• Titik B adalah titik potong antara garis x = 80 dan garis

  8x + 4y = 800.
  Substitusi x = 80 ke persamaan 8x + 4y = 800
   8 . 80 + 4y = 800
              y = 40
  Jadi, titik B(80, 40).
  

• Titik C adalah titik potong antara garis 8x + 4y = 800 dan

  2x + 5y = 800.
  Dari 8x + 4y = 800 didapat y = 200 - 2x.
  Substitusi nilai y ke persamaan 2x + 5y = 800
        2x + 5(200 - 2x) = 800
        2x + 1000 - 10x = 800
        - 8x = - 200
      x = 25
  Substitusi x = 25 ke persamaan y = 200 - 2x
        y = 200 - 2 · 25
    y = 150
  Jadi, titik C(25, 150).
  

• Titik D adalah titik potong antara garis 2x + 5y = 800 dan sumbu-y.

  Substitusi x = 0 ke persamaan 2x + 5y = 800
     2 . 0 + 5y = 800
                5y = 800
                  y = 160
  Jadi, titik D(0, 160).
  

• Uji titik-titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y, sehingga fungsi objektif ini maksimum.

Titik Pojok (x, y)	f(x, y) = 40.000x + 30.000y
A(80, 0)	3.200.000
B(80, 40)	4.400.000
C(25, 150)	5.500.000
D(0, 160)	4.800.000

Dari tabel tersebut dapat diperoleh nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y adalah f(25, 150) = 5.500.000. Jadi, PT. Samba Lababan harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum.
Untuk menentukan nilai minimum dilakukan langkah yang sama. Lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

• Contoh II :

Tentukan nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 2x + 10y yang memenuhi x + 2y ≥ 10, 3x +  y ≥ 15, x ≥ 0, dan y ≥ 0.

Titik-titik pojoknya adalah titik A, B, dan C.

• Titik A adalah titik potong garis x + 2y = 10 dengan sumbu-x.

Substitusi y = 0 ke persamaan x + 2y = 10.
 x + 2y = 10

x + 2 . 0 = 10
         x = 10
Jadi, titik A(0, 10).

• Titik B adalah titik potong garis x + 2y =10 dengan garis 3x +  y = 15

Dari x + 2y = 10 diperoleh x = 10 - 2y.
Substitusi nilai x ke persamaan 3x +  y = 15
   3x + y = 15
   3(10 - 2y) + y = 15
       30 - 6y + y = 15

- 5y = 15

  5y = 30 - 15
  5y = 15 ↔ y = 3

Substitusi nilai y = 3 ke persamaan x = 10 - 2y
x = 10 􀀐 2y
  = 10 – 2 . 3
  = 10 - 6
  =  4
Jadi, titik B(4, 3).

• Titik C adalah titik potong garis 3x + y = 15 dengan sumbu-y.

Substitusi x 􀀠 0 ke persamaan 3x + y = 15.
   3x + y = 15
3 . 0 + y = 15
           y = 15
Jadi, titik C(0, 15).

• Uji titik-titik pojok

Titik Pojok (x, y)	f(x, y) = 2x + 10y
A(10, 0)	20
B(4, 3)	38
C(0, 15)	150

Dari tabel diperoleh nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 2x + 10y adalah f(10, 0) = 20.

2. Metode Garis Selidik

Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah berikut :

• Tentukan garis selidik, yaitu garis-garis yang sejajar dengan garis ax + by = k, a > 0, b > 0, dan k Є R.
• Gambarkan garis selidik-garis selidik tersebut pada koordinat Cartesius!
• Untuk menentukan nilai maksimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terbesar terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi tujuan maka carilah garis selidik yang jaraknya terkecil terhadap titik pusat O(0, 0) dan berada pada daerah penyelesaian

Contoh :

Grafik berikut ini adalah produksi ban PT. Samba Lababan :

( Daerah Penyelesaian memenuhi x + 2y ≥ 10, 3x +  y ≥ 15, x ≥ 0, dan y ≥ 0 )

Garis selidik dari fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y adalah
 4x + 3y = k.
Ambil k = 120, didapat garis selidik 4x + 3y = 120.
Ambil k = 240, didapat garis selidik 4x + 3y = 240.
Ambil k = 550, didapat garis selidik 4x + 3y = 550.

Gambarkan garis-garis selidik ini sehingga kamu dapat menentukan nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y.

Perhatikan bahwa garis selidik yang menyebabkan fungsi objektif maksimum adalah 4x + 3y = 550.

Dengan mengalikan kedua ruas persamaan garis selidik dengan 10.000,
kamu mendapatkan nilai maksimum fungsi objektif sebagai berikut :
10.000(4x + 3y) = 10.000(550)
       40.000x + 30.000y = 5.500.000

Jadi, nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y adalah 5.500.000.

Dari gambar di atas tampak bahwa garis selidik 4x + 3y = 550 melalui
titik C(25, 150). Ini berarti, fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y
mencapai maksimum pada titik C(25, 150).

Jadi, PT. Samba Lababan harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum Rp5.500.000,00.